1) Заряд конденсатора идеального колебательного контура, состоящего из катушки с индуктивностью 25 мкГн и конденсатора, при свободных колебаниях меняется по закону , где все величины выражены в СИ. Определите максимальную энергию конденсатора.2) Индуктивность катушки равна 0,5 Гн. Уравнение колебаний силы тока в ней имеет вид: , где все величины выражены в СИ. Определите амплитуду напряжения на катушке.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Уравнение колебаний идеального колебательного контура имеет вид:

[ q(t) = q_{max} \cdot \cos(\omega t + \phi) ]

где (q(t)) - заряд конденсатора, (q_{max}) - максимальный заряд на конденсаторе, (\omega) - циклическая частота колебаний, (t) - время, (\phi) - начальная фаза.

Находим циклическую частоту из формулы ( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} ), где (L = 25 \cdot 10^{-6} ) Гн и (C = \frac{1}{2\pi}) Ф:

[ \omega = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{1}{2\pi}} } \approx 79577 \text{ рад/с} ]

Максимальная энергия конденсатора определяется формулой:

[ W{max} = \frac{1}{2} C U{max}^2 ]

где (C = \frac{1}{2\pi}) Ф, (U{max}) - максимальное напряжение на конденсаторе. Максимальное напряжение в контуре равно ( U{max} = I{max} \cdot X{C} ), где (I_{max}) - максимальный ток в контуре, (X_C = \frac{1}{\omega C}) - реактивное сопротивление конденсатора.

[ I{max} = \frac{U{max}}{XL} = \frac{U{max}}{\omega L} ]

[ U{max} = I{max} \cdot XC = I{max} \cdot \frac{1}{\omega C} ]

[ W{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\pi} \cdot I{max}^2 \cdot \left( I{max} \cdot \frac{1}{\omega \cdot \frac{1}{2\pi}} \right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\omega^2 C} \cdot I{max}^4 ]

Подставляем значения:

[ W{max} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(79577)^2 \cdot \frac{1}{2\pi}} \cdot I{max}^4 ]

[ W_{max} \approx 1,079 \times 10^{-6} \text{ Дж} ]

2) Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:

[ i(t) = i_{max} \cdot \cos(\omega t + \phi) ]

где (i(t)) - сила тока, (i_{max}) - максимальное значение силы тока, (\omega) - циклическая частота колебаний, (t) - время, (\phi) - начальная фаза.

Амплитуда напряжения на катушке равна (UL = \omega L \cdot I{max}). Подставляем значения (L = 0.5) Гн и (\omega = 2\pi \cdot f = 2\pi \cdot \frac{1}{T}), где (f) - частота, (T) - период:

[ UL = 2\pi \cdot \frac{1}{T} \cdot 0.5 \cdot I{max} ]

[ UL = \pi \cdot \frac{1}{T} \cdot I{max} ]

[ I_{max} = \frac{U_L \cdot T}{\pi} ]

Подставляем значение (I{max}) в уравнение ( i(t) = i{max} \cdot \cos(\omega t + \phi) ):

[ i(t) = \frac{U_L \cdot T}{\pi} \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t}{T} + \phi) ]

Таким образом, амплитуда напряжения на катушке равна ( U_L = \frac{U}{\pi} \cdot T = \frac{U}{\pi \cdot f} ).