Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль, первоначально находившийся при нормальных условиях, Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль, первоначально находившийся при нормальных условиях, переводят в состояние с вдвое большим давлением. Процесс перевода слагается из двух участков – изобары и изохоры. Газу во время процесса сообщено количество теплоты Q. Найдите конечную температуру газа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку идеальный одноатомный газ является адиабатическим, изменение внутренней энергии газа будет равно работе, совершенной над газом, то ест
\Delta U = Q - W = Q - P(V_f - V_i)
где \Delta U - изменение внутренней энергии газа, Q - количество теплоты, W - работа, P - давление газа, V_f и V_i - конечный и начальный объем газа соответственно.

Поскольку процесс состоит из изобарного и изохорного участков, работа можно разбить на две части
W = W_1 + W_2 = P(V_f - V_i) + 0
где W_1 - работа на изобарном участке, W_2 - работа на изохорном участке.

Следовательно, изменение внутренней энергии газа выражается как
\Delta U = Q - P(V_f - V_i) - P(V_f - V_i) = Q - 2P(V_f - V_i).

Для идеального газа изменение внутренней энергии можно выразить через изменение температуры
\Delta U = C_v \Delta T
где C_v - удельная теплоемкость при постоянном объеме газа.

Подставляя полученные выражения, получаем
C_v \Delta T = Q - 2P(V_f - V_i).

Теперь произведем замену для удельной теплоемкости при постоянном объеме газа
C_v = \frac{f}{2}R
где f - число степеней свободы, R - газовая постоянная.

Для одноатомного газа f = 3, следовательно
C_v = \frac{3}{2}R.

Таким образом, уравнение принимает вид
\frac{3}{2}R \Delta T = Q - 2P(V_f - V_i).

Одновременно, для идеального газа верно
PV = nRT
где n - количество вещества газа, R - газовая постоянная, T - температура газа.

Поскольку газ идеальный и количество вещества не изменяется, имеем
P_i V_i = nRT_i и P_f V_f = nRT_f.

Для изобарного процесса P_i = P, а для изохорного процесса V_i = V_f. Таким образом, мы можем выразить температуру в начальном и конечном состоянии
T_i = \frac{P_i V_i}{nR} = \frac{PV}{nR}, T_f = \frac{P_f V_f}{nR} = \frac{2PV}{nR}.

Подставим это в выражение для изменения внутренней энергии
\frac{3}{2}R (T_f - T_i) = Q - 2P(V_f - V_i)
\frac{3}{2}R (\frac{2PV}{nR} - \frac{PV}{nR}) = Q - 2PV
\frac{3}{2} (\frac{PV}{n} - \frac{PV}{n}) = Q - 2PV
\frac{3}{2} \frac{PV}{n} = Q - 2PV
\frac{3}{2} \frac{PV}{n} = Q - 2 \frac{PV}{n}
\frac{3}{2} \frac{PV}{n} = Q - 2 \frac{PV}{n}
\frac{3}{2} \cdot 2 \cdot PV = Q
3PV = Q.

Таким образом, мы нашли, что количество теплоты, сообщенное газу, равно 3PV.

Используя это, найдем конечную температуру газа
3PV = Cv Delta T = (3/2)R Delta T
Delta T = 2PV / (3/2)R
Delta T = 4PV/3R = 4 1 atm 22.4 L / (3 * 0.08206 L.atm/mol.K) = 122.9 K
Поэтому, конечная температура газа равна 122.9 K.