Решить задачу по математическому моделированию предельных состояний твердого тела В точке деформируемого твердого тела заданы σСР=-185 МПа; τ12=156 МПа; τ23=-392 МПа; τ31=236 МПа. Вычислить компоненты тензора, заданного в главных напряжениях. (Напряжения заданы в МПа).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения компонент тензора, заданного в главных напряжениях, необходимо найти собственные значения и собственные векторы тензора напряжений.

Сначала составим матрицу тензора напряжений:

[ \begin{pmatrix} -185 & 156 & 236 \ 156 & 0 & -392 \ 236 & -392 & 0 \end{pmatrix} ]

Далее найдем собственные значения и собственные векторы этой матрицы. Решив уравнение det(A - λI) = 0, где A - матрица напряжений, λ - собственное значение, I - единичная матрица, получим собственные значения: λ1 = -749.614 МПа, λ2 = 309.614 МПа, λ3 = 551 МПа.

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор, подставляя λ в уравнение (A - λI)v = 0, где v - собственный вектор, получим:

Собственный вектор для λ1 = -749.614 МПа: (0.421, -0.507, 0.752)
Собственный вектор для λ2 = 309.614 МПа: (0.763, 0.576, -0.291)
Собственный вектор для λ3 = 551 МПа: (-0.732, 0.644, 0.227)

Таким образом, компоненты тензора, заданного в главных напряжениях, будут равны собственным значениям:

σ1 = 551 МПа
σ2 = 309.614 МПа
σ3 = -749.614 МПа