Во сколько раз изменяется скорость движения спутника на орбите, если при уменьшении в 2 раза радиуса круговой орбиты период его обращения уменьшается в 4 раза?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из закона Кеплера известно, что T^2 = k*r^3, где T - период обращения, r - радиус орбиты, k - постоянная.

Пусть изначальные значения периода и радиуса обращения равны T0 и r0, а после изменения - T1 и r1.

Тогда получим уравнение:
T0^2 = k r0^3
T1^2 = k r1^3

Из условия задачи известно, что T1 = T0 / 4 и r1 = r0 / 2. Подставим их в уравнение:

(T0 / 4)^2 = k (r0 / 2)^3
T0^2 / 16 = k r0^3 / 8

Далее уберем k:
T0^2 = 16 r0^3 / 8
T0^2 = 2 r0^3

Теперь можем записать соотношение для скоростей v0 и v1 спутника на орбите до и после изменения радиуса орбиты:
v0 = 2 pi r0 / T0
v1 = 2 pi r1 / T1

Подставляем значения r1 = r0 / 2 и T1 = T0 / 4, а также учитываем, что pi - константа:

v1 = 2 pi r0 / (T0 / 4) = 8 pi r0 / T0
v0 = 2 pi r0 / T0

Отсюда следует, что v1 = 4 * v0.

Итак, скорость движения спутника на орбите уменьшается в 4 раза при уменьшении в 2 раза радиуса круговой орбиты.