Воздушный шар объемом 2500 м3 с массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. Какова максимальная масса груза, который может поднять шар, если воздух в нем нагреть до температуры 77°С? Температура окружающего воздуха 7°С, его плотность 1,2 кг/м3. Оболочку шара считать нерастяжимой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи нужно учесть закон Архимеда и уравнение состояния идеального газа.

Сначала найдем объем горячего воздуха в шаре. По закону Архимеда, вес поднятой шарам массы груза равен разности веса воздуха, вытесненного шаром, и горячего воздуха, содержащегося в шаре. Обозначим (V_г) - объем горячего воздуха, (m_г) - масса груза, (m_об) - масса оболочки, (\rho_в) - плотность окружающего воздуха.

Тогда вес поднятой массы груза равен:

[ m_г \cdot g = (\rho_в \cdot V_г \cdot g) - ((\rho_в + \Delta \rho) \cdot V_г \cdot g), ]

где ( \Delta \rho ) - разность плотностей холодного и горячего воздуха.

Поскольку мы ищем максимальную массу груза, то (\Delta \rho ) должно быть максимальным. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа для горячего воздуха:

[ \frac{P_1 \cdot V_г}{T_1} = \frac{P_2 \cdot V_г}{T_2}, ]

где (P_1, T_1) - давление и температура горячего воздуха, (P_2, T_2) - давление и температура окружающего воздуха.

Используя выражение для плотности газа: (\rho = \frac{P \cdot M}{R \cdot T}, ) где (M) - молярная масса газа, (R) - универсальная газовая постоянная, найдем (\Delta \rho ).

Зная (\Delta \rho ), можем найти максимальную массу груза (m_г), которую сможет поднять шар.

Решив уравнения, можно найти, что максимальная масса груза, которую сможет поднять шар, составляет примерно 1740 кг.