Несколько одинаково заряженных шариков одного размера и массы подвешены на нитях одинаковой длины, закрепленных в одной точке. Опуская шарики в жидкий диэлектрик, заметили, что угол отклонения нитей от вертикали в воздухе и в диэлектрике остается одним и тем же. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его плотность в 1,25 раза меньше плотности материала шариков.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим массу шариков через ( m ), длину нитей через ( l ), угол отклонения нитей от вертикали в воздухе и в диэлектрике через ( \theta ), плотность материала шариков через ( \rho ), диэлектрическую проницаемость диэлектрика через ( \varepsilon ).

Пусть ( T ) - натяжение нити в воздухе. Тогда в воздухе на шарик действуют силы упругости нити и сила тяжести шарика:
[ T \cos(\theta) = mg, ]
[ T \sin(\theta) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2}, ]
где ( q ) - заряд шарика.

В диэлектрике на шарик также действуют сила упругости нити и сила тяжести, но в дополнение к этому еще и сила, пропорциональная поляризации диэлектрика:
[ T_1 \cos(\theta) = mg, ]
[ T_1 \sin(\theta) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon l^2} + P = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon l^2} + \frac{\varepsilon - 1}{4\pi \varepsilon}E^2, ]
где ( P ) - вектор поляризации диэлектрика, ( E ) - модуль напряженности электрического поля в диэлектрике.

Сравнивая два последних уравнения, получаем:
[ \frac{q^2}{4\pi\varepsilon l^2} + \frac{\varepsilon - 1}{4\pi \varepsilon}E^2 = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2}, ]
[ \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}E^2 = \frac{q^2}{\varepsilon_0 l^2}, ]
[ E^2 = \frac{q^2 \varepsilon}{\varepsilon_0 l^2 (\varepsilon - 1)}. ]

Таким образом, выразим модуль напряженности электрического поля в диэлектрике через заряд шарика:
[ E = \frac{q}{l\sqrt{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)}}. ]

Подставляем это выражение для ( E ) в уравнение для силы в диэлектрике и учитываем, что ( T_1 = T ):
[ T \sin(\theta) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon l^2} + \frac{\varepsilon - 1}{4\pi \varepsilon} \left( \frac{q}{l\sqrt{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)}} \right)^2, ]
[ mg\tan(\theta) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon l^2} + \frac{\varepsilon - 1}{4\pi \varepsilon} \left( \frac{q}{l\sqrt{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)}} \right)^2. ]

Теперь подставляем ( q = \sqrt{\frac{Tl^2}{\cos(\theta)}} ) и ( m = \rho \frac{4}{3}\pi \left( \frac{d}{2} \right)^3 ), где ( d ) - диаметр шарика:
[ \frac{\rho 4}{3} \pi \left( \frac{d}{2} \right)^3 \cdot g \tan(\theta) = \frac{Tl^2}{4\pi\varepsilon l^2 \cos(\theta)} + \frac{\varepsilon - 1}{4\pi \varepsilon} \left( \frac{Tl^2}{l\sqrt{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)\cos(\theta)}} \right)^2. ]

Теперь подставляем в это уравнение известное нам отношение плотностей:
[ \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{1}{1.25}, ]
[ \frac{Tl^2}{4\pi\varepsilon l^2 \cos(\theta)} = (1.25)^2 \frac{Tl^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2 \cos(\theta)}, ]
[ \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} = (1.25)^2 \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}. ]

Теперь решаем полученное уравнение относительно (\varepsilon), и находим:
[ \varepsilon \approx 2.235. ]

Таким образом, диэлектрическая проницаемость диэлектрика примерно равна 2.235.