1. Материальная точка движется по окружности радиуса 0,2 см равноускоренно. Через 2,8 с после начала движения нормальное ускорение в два раза больше тангенциального. Определить тангенциальное ускорение. 2. Диск радиусом 10 см, находящийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 0,5 рад/с2. Найти угловую скорость в конце второй секунды после начала вращения. Сколько оборотов сделает диск за это время? 3. Материальная точка массы 1 кг движется относительно инерциальной системы отсчета ОXY под действием постоянных сил: единичные вектора вдоль оси OX, OY, OZ соответственно. Определить, с каким ускорением движется эта точка. 4. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением j = Bt + Ct3, где, В = 16 рад/с, С = – 2 рад/с3. Момент инерции J ма­ховика равен 20 кг·м2. Записать закон, по которому меняется вращающий мо­мент М. Определить вращающий момент через 2 с после начала вращения. 5. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0,8 м и массой 6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча 5 м/с.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть а - тангенциальное ускорение, тогда нормальное ускорение 2а.
Обозначим угловую скорость материальной точки через ω, тогда a = rω², где r - радиус окружности.
Так как нормальное ускорение в два раза больше тангенциального, то для нормального ускорения верно a = 2rα, где α - угловое ускорение.
Таким образом, rω² = 2rα, α = ω²/2.
Из уравнения α = (v - v₀)/t, где v₀ = 0, получаем ω = αt = (v - v₀)/(2t) = v/(2t) = 0.05/(2*2.8) = 0.0179 рад/с².Угловая скорость в конце второй секунды после начала вращения будет равна ω = αt = 0.52 = 1 рад/с.
Чтобы найти количество оборотов, найдем угловое расстояние, которое прошел диск за 2 секунды: φ = 0.5αt² = 0.50.5*2^2 = 1 рад.
Таким образом, диск сделает 1/(2π) = 0.16 оборотов за это время.Ускорение точки вдоль оси OX будет равно a₁ = F₁/m = 1/1 = 1 м/с².
Ускорение точки вдоль оси OY будет равно a₂ = F₂/m = 0/1 = 0 м/с².
Ускорение точки вдоль оси OZ будет равно a₃ = F₃/m = 0/1 = 0 м/с².
Таким образом, общее ускорение точки будет a = sqrt(a₁² + a₂² + a₃²) = sqrt(1² + 0² + 0²) = 1 м/с².Запишем закон изменения вращающего момента: M = Jω. Из заданного уравнения j = 16t - 2t^3 найдем угловую скорость: ω = dθ/dt = 16 - 6t^2.
Тогда вращающий момент через 2 секунды будет равен M = Jω = 20(16 - 62^2) = 20*(16 - 24) = -160 Нм.По закону сохранения момента импульса системы "человек + скамья", можно записать:
(m₁r₁ + m₂r₂)ω₀ = m₁r₁ω₁ + m₂r₂ω₂, где m₁ и m₂ - массы человека и скамьи, r₁ и r₂ - расстояния от оси вращения до центра масс объектов, ω₀ - начальная угловая скорость системы, ω₁ и ω₂ - угловые скорости человека и скамьи после броска мяча.
Подставляем данные: (600 + 60.4)0 = 600ω₁ + 0.50.4ω₂, 0 = 0.2*ω₂.
Таким образом, скамья начнет вращаться с угловой скоростью 0 рад/с.