Спутник вращается вокруг планеты по круговой орбите радиусом R. Период обращения спутника равен T.Найдите плотность планеты,если ее радиус равен a.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти плотность планеты, воспользуемся законом всемирного тяготения
F = m
где F - центростремительная сила, действующая на спутник, m - масса спутника, a - центростремительное ускорение.

Так как центростремительная сила обусловлена гравитационным притяжением, то F = G (m M_planet) / R^2
где G - гравитационная постоянная, M_planet - масса планеты.

Для спутника, который движется по круговой орбите, справедливо равенство
F = m a_c = m v^2 / R
где v - скорость спутника.

Согласно закону Кеплера, период обращения планеты зависит от радиуса орбиты и массы планеты
T = 2 π R / v
ил
v = 2 π R / T.

Подставляя данное выражение для скорости в выражение для центростремительной силы, получаем
m (2 π R / T)^2 / R = G (m * M_planet) / R^2.

Сокращаем m и R, и избавляемся от искомой массы планеты M_planet
4 π^2 R / T^2 = G * M_planet.

Отсюда выразим массу планеты
M_planet = 4 π^2 R / (G * T^2).

Используя соотношение для плотности планеты
ρ = M_planet / (4/3 π a^3)
получаем
ρ = 3 π R / (G T^2 4 π / 3 a^3)
и, упрощая, найдем окончательное выражение для плотности планеты
ρ = 3 R a^3 / (G T^2 4).

Итак, плотность планеты равна 3 R a^3 / (G T^2 4).