Получите нормировочный множитель для функции ϕ(x)=xe−αx Получите нормировочный множитель для функции ϕ(x)=xe−αx для области ее определения [0,+∞). Дан табличный интеграл: ∫∞0xne−αxdx=n!αn+1,α>0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем нормировочный множитель для функции ϕ(x)=xe^(-αx) на интервале [0, +∞):

Используя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, где u = x, dv = e^(-αx)dx, получаем:

∫xe^(-αx)dx = -1/α x e^(-αx) - ∫(-1/α e^(-αx))dx
= -1/α x e^(-αx) + 1/α^2 e^(-αx)

Подставим это выражение в интеграл ∫∞0 xe^(-αx)dx:

∫∞0 xe^(-αx)dx = lim(ε→0) ∫∞ε xe^(-αx)dx
= lim(ε→0) [-1/α x e^(-αx) + 1/α^2 e^(-αx)]∣_ε^∞
= lim(ε→0) [-1/α ε e^(-αε) + 1/α^2 e^(-αε) - 0]
= 1/α^2

По данным данного табличного интеграла имеем:

∫∞0 xe^(-αx)dx = n!/(α^(n+1))

Сравнивая найденный интеграл с данным, получаем:

1/α^2 = n!/(α^(n+1))

Отсюда находим нормировочный множитель α:

α^(n+1) = n!α^2
α = (n!)^(1/(n+1))

Итак, нормировочный множитель для функции ϕ(x)=xe^(-αx) на интервале [0, +∞) равен α = (n!)^(1/(n+1))