Задача по физике Получить формулу для периода колебаний грузика на двух последовательно соединённых пружинках

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть грузик массы (m) находится на двух последовательно соединенных пружинках с жесткостями (k_1) и (k_2), соответственно. Обозначим деформации каждой пружины как (x_1) и (x_2).

Cилы, действующие на грузик:

(F_1 = - k_1 x_1) (сила, возникающая из-за деформации первой пружины)

(F_2 = - k_2 x_2) (сила, возникающая из-за деформации второй пружины)

Суммарная сила, действующая на грузик:

(F = - k_1 x_1 - k_2 x_2 = m \frac{d^2x}{dt^2})

Также, из законов Ньютона:

(m \frac{d^2x}{dt^2} = - k_1 x_1 - k_2 x_2)

Подставляем (x_1) и (x_2) через (x) (общая деформация):

(m \frac{d^2x}{dt^2} = - k_1 \frac{k_2}{k_1 + k_2} x - k_2 \frac{k_1}{k_1 + k_2} x = - \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} x)

Итак, получаем уравнение движения:

(m \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2} x = 0)

Его решение имеет вид (x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)), где

(\omega = \sqrt{\frac{k_1 k_2}{m(k_1 + k_2)}})

По определению, период колебаний (T) равен (T = \frac{2\pi}{\omega}), следовательно:

[T = 2\pi \sqrt{\frac{m(k_1 + k_2)}{k_1 k_2}}]

Итак, получили формулу для периода колебаний грузика на двух последовательно соединенных пружинках.