Однородный сплошной цилиндр и однородный шар, имеющие
одинаковую массу и радиус, закатываются без проскальзывания на
наклонную плоскость. Найти отношение высот, на которые они поднимутся
вдоль наклонной плоскости, если у основания наклонной плоскости их
скорости одинаковы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть угол наклона плоскости равен (\alpha), масса цилиндра и шара равна (m), а их радиус равен (R).
Так как скорости цилиндра и шара у основания плоскости одинаковы, то их кинетическая энергия тоже равна:
[ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}I\omega^2,]
где (v) - скорость центра масс, (I) - момент инерции относительно оси качения (гладкого цилиндра и шара равен (\frac{1}{2}mR^2)), а (\omega) - угловая скорость.
Так как цилиндр и шар катятся без проскальзывания, то связь между скоростью центра масс и угловой скоростью выражается следующим образом: (v=\omega R).
Из этого получаем, что
[ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mR^2v^2.]
Так как у цилинда и шара одинаковая масса и радиус, то их моменты инерции относительно оси качения также равны.
Таким образом:
[ \frac{1}{4}mv^2 = \frac{1}{2}I\omega^2.]
Отсюда имеем:
[ v = \frac{2}{3}R\omega .]
Так как шар и цилиндр находятся в покое в начальный момент времени, то их потенциальная энергия равна 0.
Используя закон сохранения энергии, можем записать:
[ mgh = \frac{1}{2}I\omega^2,]
где (h) - высота, на которую поднялся цилиндр или шар. Так как (gh = v^2/(2g)),
[ h = \frac{v^2}{2g} = \frac{4}{9} \frac{R^2\omega^2}{2g} = \frac{2}{9} \frac{R^2\omega^2}{g}.]
Таким образом,
[ \frac{h{цилиндр}}{h{шар}} = \frac{2}{9}\frac{R^2\omega^2}{g} : \frac{2}{9}\frac{R^2\omega^2}{g} = 1,]
то есть высоты, на которые поднимутся цилиндр и шар, равны.

Ответ: отношение высот, на которые поднимутся цилиндр и шар, равно 1.