Задача(Последняя на сегодня) Ускоренное охлаждение
Юный физик Василий может пить тёплый или холодный чай. Наполненная доверху цилиндрическая кружка горячего чая остывает до оптимальной для него температуры за t = 15 минут. Чтобы горячий чай охладился быстрее, он наливает его в цилиндрическое блюдце, радиус которого вдвое больше радиуса кружки. Известно, что одну полную кружку можно разлить по трём таким блюдцам, заполнив их доверху.
Потери тепла происходят только через открытую поверхность чая, причём их мощность пропорциональна площади этой поверхности и разности температур чая и окружающего воздуха. Изменение объёма чая из-за понижения температуры не учитывать. Теплоёмкостью кружки и блюдца пренебречь.
Во сколько раз высота кружки больше высоты блюдца? Ответ округлите до целых.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту кружки как h, а высоту блюдца как h'. Пусть V - объем чая в кружке.

Поскольку одну полную кружку можно разлить по трём блюдцам, то объем чая в кружке равен объему в трех блюдцах:
V = 3 π (r/2)^2 h' = π r^2 * h.

Отсюда получаем, что h = 6 * h'.

Также известно, что время остывания горячего чая в блюдце вдвое меньше времени остывания в кружке:
T' = 15/2 минут.

Зная, что потери тепла пропорциональны разности температур чая и окружающего воздуха, можем записать соотношение для времени остывания чая в кружке и блюдце:
T = k V (T0 - Tair) = k π r^2 h ΔT,
T' = k V (T0 - Tair) = k 3/2 π (r/2)^2 h' * ΔT.

Где k - коэффициент пропорциональности, ΔT - разность температур чая и окружающего воздуха.

Отсюда получаем, что T / T' = (π r^2 h) / (3/2 π (r/2)^2 * h') = 2h / h' = 12.

Итак, высота кружки в 12 раз больше высоты блюдца.