Задачи по энтропии. Закон распределения Найдите дифференциальную энтропию для показательного закона распределения, если известно, что случайная величина х принимает значение меньше единицы с вероятностью 0,5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для расчета дифференциальной энтропии случайной величины, распределенной по показательному закону, нужно использовать следующую формулу:

H(X) = - ∫ p(x) * log2 p(x) dx

Где p(x) - вероятностная плотность распределения случайной величины.

Для показательного закона распределения вероятностная плотность равна f(x) = λ * e^(-λx), где λ - параметр интенсивности.

Из условия задачи известно, что случайная величина X принимает значение меньше единицы с вероятностью 0,5. То есть P(X < 1) = 0,5.

Для показательного закона вероятность P(X < 1) равна
∫ f(x)dx от 0 до 1 = ∫ λ * e^(-λx) dx от 0 до 1 = - e^(-λ) + 1 = 0,5

Отсюда получаем уравнение - e^(-λ) + 1 = 0,5, решив которое, получаем λ ≈ 1,3863

Теперь мы можем использовать найденное значение λ и вероятностную плотность f(x) = λ * e^(-λx), чтобы вычислить дифференциальную энтропию по формуле:

H(X) = - ∫ λ e^(-λx) log2 (λ * e^(-λx)) dx

После подстановки λ и интегрирования, получаем конечное значение дифференциальной энтропии для заданного показательного закона распределения.