Задача по физике На столе стоит коробка массой М. Внутри коробки грузик (массой m) на пружине (жёсткостью k). На какое расстояние( х=? ) нужно оттянуть пружину, чтобы коробка подпрыгнула на это же расстояние?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи необходимо учесть законы сохранения энергии и импульса.

Пусть коробка подпрыгивает на расстояние х. Потенциальная энергия пружины при оттягивании на расстояние х равна (E_{\text{пр}} = \frac{1}{2}kx^2).

При оттягивании пружины на расстояние x, её начальная потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию, которая равна (E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}Mv^2), где v - скорость коробки в момент отрыва от пружины.

Поскольку начальная масса движется вместе с грузиком, то начальный импульс системы (p_i = 0).

Отпустив пружину, коробка начинает двигаться с некоторой скоростью v, и импульс системы становится равным (p = Mv + mv).

Из закона сохранения импульса имеем (0 = Mv + mv), откуда (v = -\frac{m}{M}v).

Теперь, используя закон сохранения энергии, можем выразить v:

[\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}mv^2]

Подставляем найденное значение v и выражаем х:

[\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}M \left(-\frac{m}{M}v\right)^2 + \frac{1}{2}mv^2]
[\frac{1}{2}kx^2 = \frac{m^2}{2M}v^2 + \frac{1}{2}mv^2]
[\frac{1}{2}kx^2 = \frac{mv^2}{2}\left(\frac{m}{M} + 1\right)]
[\frac{1}{2}kx^2 = \frac{mv^2}{2}\left(\frac{m+M}{M}\right)]
[kx^2 = \frac{v^2}{M}(m+M)]
[kx^2 = \frac{m^2v^2}{M^2}(m+M)]
[kx^2 = \frac{m^2v^2}{M^2}(m+M)]
[x = \sqrt{\frac{m^2(M+m)}{kM^2}}]

Таким образом, расстояние, на которое нужно оттянуть пружину, чтобы коробка подпрыгнула на это же расстояние, равно (\sqrt{\frac{m^2(M+m)}{kM^2}}).