Задание по физике Груз малых размеров массой m=4 кг, прикрепленный пружиной жесткости k=100 Н/м к неподвижной точке, движется по окружности с постоянной по величине скоростью, скользя по гладкой горизонтальной поверхности. Радиус окружности в 2 раза больше длины пружины, в нерастянутом состоянии, и составляет 40 см. Какова скорость груза?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии.

Пусть линейный размер удлинения пружины при движении груза на угол α определенного им радиуса равен наискорейшему мгновенному значению y = R sin(α), где R - радиус окружности.

Потенциальная энергия упругой деформации пружины
(U_{пот}=\frac{k\Delta y^2}{2} = \frac{k(R-R\cos{α})^2}{2}).

Кинетическая энергия груза
(K = \frac{mv^2}{2}).

Сумма потенциальной и кинетической энергии постоянна
(U_{пот}+K=const).

Максимальное удлинение пружины достигается в точке самого отдаленного положения от центра окружности, и в этот момент точка скорости движения груза направлена по радиусу. То есть, (K{макс}=U{пот_{мин}}), а (\alpha = \pi/2).

Тогда уравнение закона сохранения энергии:

(\frac{mv^2}{2} + \frac{k(R-R\cos{\alpha})^2}{2} = \frac{m\sqrt{R^2-R^2\cos^2\alpha}^2}{2} + \frac{k(0)^2}{2}) или

(mv^2/2 + k(R-R\cos(\pi/2))^2/2 = 0).

Решая это уравнение для v:

(v = \sqrt{(2kR^2/m)(1-\frac{R^2}{4R^2})} = \sqrt{(2k/m)(1/4)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{100}{4} = 5 (м/с)).

Таким образом, скорость груза равна 5 м/с.