Физика, скатывания тела с наклонной плоскости Как формулами доказать, что тангенциальная скорость равна скорости центра масс у круглого скатывающегося тела с наклонной плоскости?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что тангенциальная скорость равна скорости центра масс у круглого скатывающегося тела с наклонной плоскости, можно использовать законы сохранения энергии.

Для начала определим потенциальную энергию тела на высоте h над основанием наклонной плоскости как U=mgh, где m - масса тела, g - ускорение свободного падения, h - высота.

Кинетическая энергия тела при движении по наклонной плоскости складывается из двух составляющих - трансляционной и вращательной. Мы можем выразить их следующим образом:

K = Kтр + Kвр = 0.5 m Vцм^2 + 0.5 Iz ω^2

где K - кинетическая энергия тела, Vцм - скорость центра масс, Iz - момент инерции тела относительно оси вращения, ω - угловая скорость вращения.

Используя закон сохранения энергии, можем записать:

U = K

mgh = 0.5 m Vцм^2 + 0.5 Iz ω^2

Для круглого тела момент инерции можно выразить как Iz = 0.5 m R^2, где R - радиус тела. Подставим это выражение в уравнение:

mgh = 0.5 m Vцм^2 + 0.25 m R^2 * ω^2

Так как скатывающееся тело не скользит, то Vцм = R * ω. Подставим это выражение в уравнение:

mgh = 0.5 m (R ω)^2 + 0.25 m R^2 ω^2

mgh = 0.5 m R^2 ω^2 + 0.25 m R^2 ω^2

mgh = 0.75 m R^2 * ω^2

h = 0.75 R ω^2

Отсюда видно, что ω^2 = h / (0.75 R), что означает, что тангенциальная скорость (V = R ω) равна скорости центра масс у круглого скатывающегося тела с наклонной плоскости.