Задача по статике Два диска с радиусами 10см и 30см и массами 1кг и 3кг соответственно
насажены на общую ось. Верхний диск радиусом 10см вращается с угловой
скоростью 20 рад/с, нижний диск радиусом 30см неподвижен. Определите
угловую скорость совместного вращения двух дисков после столкновения
верхнего диска с нижним диском.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим момент инерции каждого диска относительно оси вращения (ось проходит через их центры и перпендикулярна плоскости дисков):

Для верхнего диска (радиус 10 см, масса 1 кг)
I1 = 0.5 m1 r1^2 = 0.5 1 0.1^2 = 0.005 кг*м^2

Для нижнего диска (радиус 30 см, масса 3 кг)
I2 = 0.5 m2 r2^2 = 0.5 3 0.3^2 = 0.135 кг*м^2

Сначала рассмотрим верхний диск. После столкновения с нижним диском, верхний диск выполнит упругий отскок и будет двигаться вдоль оси вращения с некоторой новой угловой скоростью ω1. После столкновения импульс и момент импульса верхнего диска изменятся. Пусть скорость верхнего диска после столкновения с нижним диском равна v.

Применяя законы сохранения импульса и момента импульса, получим:

I1 ω1 + I2 ω2 = I1 ω1 + I2 ω2

m1 v r1 = m1 r1 ω1 + m2 r2 ω2

m1 v r1 = I1 ω1 + I2 ω2

Решая систему уравнений, найдем новую угловую скорость верхнего диска:

ω1 = v / r1

Для нижнего диска момент импульса не изменится, т.к. он неподвижен, следовательно:

I2 ω2 = I2 0

Теперь найдем новую угловую скорость вращения двух дисков. Поскольку нижний диск неподвижен, его угловая скорость равна нулю:

ω = ω1 = v / r1

Остается найти скорость v.

Для этого обратимся к закону сохранения энергии:

0.5 m1 v^2 = 0.5 I1 ω1^2 + 0.5 I2 ω2^2

Подставляем ω1 = v / r1 и ω2 = 0, и получаем:

0.5 v^2 = 0.5 I1 * (v / r1)^2

v = r1 √(2 I1 / m1) = 0.1 √(2 0.005 / 1) = 0.1 * √(0.01) = 0.01 м/с

Теперь, подставив найденное значение скорости v в формулу для угловой скорости совместного вращения двух дисков, получим:

ω = v / r1 = 0.01 / 0.1 = 0.1 рад/с

Итак, угловая скорость совместного вращения двух дисков после столкновения равна 0.1 рад/с.