Волчок вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью w1. Ось волчка с угловой скоростью w2 описывает конус, образуя с вертикалью угол a. Полная угловая скорость волчка, равная по абсолютной величине w, составляет с вертикалью угол B. Определить угол B, если w1=25,0рад/с; w2=7,3рад/с; a=25°

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи необходимо воспользоваться векторной моделью угловых скоростей волчка.

У нас есть две угловые скорости:

( \mathbf{w_1} ), угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси (с величиной ( w_1 )).( \mathbf{w_2} ), угловая скорость прецессии ножки волчка (с величиной ( w_2 )), которая описывает конус с углом ( a ).

Полная угловая скорость волчка ( \mathbf{w} ) складывается из этих двух векторов. По правилам векторного сложения, мы можем записать:

[
\mathbf{w} = \mathbf{w_1} + \mathbf{w_2}
]

1. Определим векторы

Вектор ( \mathbf{w_1} ), направленный по оси волчка:
[
\mathbf{w_1} = w_1 \cdot \hat{e_z}
]
где ( \hat{e_z} ) — единичный вектор, направленный вдоль оси волчка.

Вектор ( \mathbf{w_2} ), направленный по оси прецессии (образует угол ( a ) с вертикалью):
[
\mathbf{w_2} = w_2 \cdot (\sin a \cdot \hat{e_x} + \cos a \cdot \hat{e_z})
]

2. Найдем результирующий вектор ( \mathbf{w} )

Запишем полный вектор из этих двух компонент:

[
\mathbf{w} = w_1 \cdot \hat{e_z} + w_2 \cdot (\sin a \cdot \hat{e_x} + \cos a \cdot \hat{e_z})
]

Приведем подобные (вектор ( \hat{e_z} )):

[
\mathbf{w} = (w_1 + w_2 \cos a) \hat{e_z} + (w_2 \sin a) \hat{e_x}
]

3. Определим величину полного вектора угловой скорости

Теперь вычислим модуль ( w ) полного вектора:

[
w = \sqrt{(w_2 \sin a)^2 + (w_1 + w_2 \cos a)^2}
]

4. Определим угол ( B )

Угол ( B ) можно найти с помощью тригонометрических функций. Так как мы имеем составляющие по осям ( x ) и ( z ):

[
\tan B = \frac{w_2 \sin a}{w_1 + w_2 \cos a}
]

5. Подставим значения

Подставим данные в формулу:

( w_1 = 25.0 \, \text{рад/с} )( w_2 = 7.3 \, \text{рад/с} )( a = 25^\circ )

Сначала рассчитаем ( \sin a ) и ( \cos a ):

[
\sin(25^\circ) \approx 0.4226, \quad \cos(25^\circ) \approx 0.9063
]

Далее подставляем в формулу для ( \tan B ):

[
\tan B = \frac{7.3 \cdot 0.4226}{25 + 7.3 \cdot 0.9063}
]

Посчитаем числитель и знаменатель:

Числитель:
[
7.3 \cdot 0.4226 \approx 3.08498
]Знаменатель:
[
25 + (7.3 \cdot 0.9063) \approx 25 + 6.62059 \approx 31.62059
]

Теперь вычислим ( \tan B ):

[
\tan B \approx \frac{3.08498}{31.62059} \approx 0.0975
]

Теперь находим угол ( B ):

[
B \approx \tan^{-1}(0.0975) \approx 5.57^\circ
]

Ответ

Угол ( B ) составляет примерно ( 5.57^\circ ).