Коаксиальный кабель нагружен на конце на активное сопротивление 256 Ом. Линия характеризуется следующими параметрами: диаметр внешнего провода 10 мм, диаметр внутреннего провода 3 мм. Определить величину волнового сопротивления в Ом и округлить до целого числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Волновое сопротивление коаксиального кабеля можно рассчитать по формуле:

[
Z_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{L}{C}}
]

где:

( L ) - индуктивность на единицу длины (Гн/м)( C ) - ёмкость на единицу длины (Ф/м)

Однако для коаксиального кабеля можно использовать более простую формулу:

[
Z_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{30}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)
]

где:

( R_1 ) - радиус внутреннего провода( R_2 ) - радиус внешнего провода( \varepsilon_r ) - относительная диэлектрическая проницаемость.

Для начала, нам нужно найти радиусы проводов:

Внутренний провод: ( R_1 = \frac{3 \, \text{мм}}{2} = 1.5 \, \text{мм} = 0.0015 \, \text{м} )Внешний провод: ( R_2 = \frac{10 \, \text{мм}}{2} = 5 \, \text{мм} = 0.005 \, \text{м} )

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

[
Z_0 = \frac{30}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{0.005}{0.0015}\right)
]

Для простоты, будем считать, что ( \varepsilon_r \approx 1 ) (что обеспечивается, если диэлектрик кабеля воздух или вакуум). В этом случае:

[
Z_0 \approx 30 \ln\left(\frac{0.005}{0.0015}\right)
]

Вычислим логарифм:

[
\frac{0.005}{0.0015} \approx 3.333
]

Теперь возьмём натуральный логарифм:

[
\ln(3.333) \approx 1.20397
]

Теперь подставляем в формулу для волнового сопротивления:

[
Z_0 \approx 30 \times 1.20397 \approx 36.1191 \, \text{Ом}
]

Округляем до целого числа:

[
Z_0 \approx 36 \, \text{Ом}
]

Таким образом, волновое сопротивление коаксиального кабеля составляет примерно 36 Ом.