Найти КПД идеального цикла и построить его график. Двухатомный идеальный газ совершает прямой цикл, состоящий из политропы с показателем n=-1, изохоры и изобары. В политропном процессе температура повышается, а объём меняется в a раз. Найдите КПД цикла и постройте его график.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для двухатомного идеального газа, который совершает указанный цикл (политропа, изохора и изобара) с показателем n = -1, можно рассчитать его КПД.

1. Этапы цикла

Будем обозначать состояния цикла так:

Состояние 1 → состояние 2: политропный процесс (n = -1)Состояние 2 → состояние 3: изохора (объем постоянный)Состояние 3 → состояние 1: изобара (давление постоянное)2. Расчет температурПолитропный процесс (состояние 1 → состояние 2)

Используем уравнение для политропного процесса:
[
PV^n = \text{const}
]
Напомним, что для идеального газа:
[
PV = nRT \Rightarrow P = \frac{nRT}{V}
]
Сначала запишем начальные и конечные состояния для давления и температуры.

Предположим, что конечный объём ( V_2 = a V_1 ).

При этом ( n = -1 ):
[
P_1V_1^{-1} = P_2V_2^{-1}
]
Заменим ( V_2 ):
[
P_1V_1^{-1} = P_2 (a V_1)^{-1}
]
[
P_2 = a P_1
]

Используя идеальное газовое уравнение, мы можем написать:
[
T_1 = \frac{P_1 V_1}{n R}, \quad T_2 = \frac{P_2 V_2}{n R} = \frac{a P_1 (a V_1)}{n R} = a^2 \frac{P_1 V_1}{n R} = a^2 T_1
]

Таким образом:
[
T_2 = a^2 T_1
]

Изохорный процесс (состояние 2 → состояние 3)

Объём остаётся постоянным, значит:
[
V_3 = V_2 = a V_1
]
Температура меняется:
[
\frac{T_3}{T_2} = \frac{P_3}{P_2} \Rightarrow T_3 = \frac{P_3}{a P_1} T_2
]

Здесь нам необходимо знать, какой будет ( P_3 ). Находясь в состоянии 3, мы имеем:
[
P_3 = P_2 + n C_V (T_3 - T_2)
]

Но проще будет выразить равновесие при изобаре, как:
[
T_3 = T_2 = a^2 T_1.
]

Изобарный процесс (состояние 3 → состояние 1)

Здесь:
[
P_3 = P_1 \quad \text{и} \quad V_3 = a V_1
]
Подставим:
[
\frac{T_1}{T_3} = \frac{P_1 V_1}{n R} \frac{P_3 V_3}{n R} \Rightarrow T_1 = \frac{P_1}{P_1} a^2 T_1 \Rightarrow T_1 = \frac{a^2}{R} V_1.
]

3. КПД цикла

КПД идеального цикла можно рассчитать следующим образом:
[
\eta = \frac{Q{получено} - Q{отдано}}{Q_{получено}}.
]
Мы можем выразить полученное количество теплоты через закон идеального газа.

4. График

Можно построить P-V график цикла, где:

от 1 до 2 – ситуация с падением давления и увеличением объема на политропе (отрицательный n)от 2 до 3 – вертикальная линия с фиксированным объемом (изохора)от 3 до 1 – горизонтальная линия при фиксированном давлении (изобара)

В общем, для построения графика:

Определите точки на P-V координатах.Соедините их по описанным процессам.

Для более точного ответа по расчетам, вам понадобится предоставить конкретные значения для первым состоянием и свойств газа, например, исходные температуры и давления.