На разных чашках рычажных весов стоят два одинаковых кувшина с одинаковым количеством воды. Школьник положил в левый кувшин камень, и левая чашка весов опустилась вниз. Затем школьник снова уравновесил весы. Для этого он долил в правый кувшин 100 мл воды и поставил на одну из чашек гирю с массой 200 г. После уравнивания весов уровни воды в обоих кувшинах опять сравнялись. Чему равняется плотность камня, который положили в левый кувшин? Считать, что вода из кувшинов не выливалась.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим массу кувшина с водой до добавления камня как (m_1), массу кувшина с водой и добавленным камнем как (m_2), массу воды, добавленной в правый кувшин, как (m_3) и массу гири как (m_4). Также обозначим объем воды в кувшине до добавления камня как (V).

Масса кувшина с водой и добавленным камнем после уравновешивания весов равна сумме масс кувшина и воды до добавления камня и массе камня:
[m_2 = m_1 + m_4]
Известно также, что объем воды в правом кувшине после добавления воды и гири равен объему воды до добавления камня:
[V + m_3 = V]
Отсюда получаем, что масса воды, добавленной в правый кувшин равна массе гири:
[m_3 = m_4]

Так как объем кувшина равен объему воды, добавленной в правый кувшин, то мы можем записать, что
[\rho_k \cdot V = m_3]
где (rho_k) - плотность камня.

После добавления камня в левый кувшин и уравновешивания весов мы знаем, что уровни воды в обоих кувшинах сравнялись. Таким образом, разность масс воды в кувшинах равна массе камня:
[m_1 - m_3 = m_4]

Подставляем найденные выражения для (m_3) и (m_4):
[m_1 - \rho_k \cdot V = m_4]
[m_1 = \rho_k \cdot V + m_1 - m_4]

После уравновешивания весов уровни воды в обоих кувшинах опять сравнились, поэтому разность масс воды в кувшинах равна массе добавленной воды:
[m_1 - m_2 = m_3]
[m_1 - (m_1 + m_4) = m_3]
[m_1 - m_1 - m_4 = m_3]
[-m_4 = m_3]

Мы уже знаем, что (m_3 = m_4), значит:
[-m_4 = m_4]
[m_4 = 0]

Это означает, что камень не оказал никакого воздействия на уровень воды в кувшине, следовательно, плотность камня равна нулю.