Конденсатор и катушка соединены последовательно. Индуктивность катушки равна 0,01 Гн. При какой емкости конденсатора ток частотой 1 кГц будет максимальным?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для рассчета максимального тока в цепи, соединенной последовательно конденсатора и катушки, мы должны использовать формулу реактивного сопротивления, которое определяется как (X_L = 2 \pi f L), где (f) - частота сигнала, (L) - индуктивность катушки.

Ток в цепи можно рассчитать по формуле (I = \frac{U}{\sqrt{R^{2} + (X_L - X_C)^{2}}}), где (U) - напряжение на цепи, (R) - активное сопротивление, (X_C = \frac{1}{2 \pi f C}) - реактивное сопротивление конденсатора.

Для максимального тока нужно минимизировать деноминатор формулы. Так как реактивное сопротивление конденсатора (X_C), изменяется при изменении его емкости, то необходимо найти такое значение емкости, при котором ((X_L - X_C)^{2}) будет минимальным.

Подставив все значения и упростив формулу, получаем:

[(2 \pi f L - \frac{1}{2 \pi f C})^{2}]

Раскрыв скобки и упростив, получаем:

[4 \pi^{2} f^{2} L^{2} - 4 \pi f L \frac{1}{2 \pi f C} + \frac{1}{4 \pi^{2} f^{2} C^{2}}]

Учитывая, что (f = 1 кГц = 1000 Гц) и (L = 0,01 Гн), уравнение для минимизации реактивного сопротивления конденсатора будет:

[40 \pi^{2} 1000^{2} 0,01 - 40 \pi 1000 \frac{1}{2 \pi 1000 C} + \frac{1}{4 \pi^{2} 1000^{2} C^{2}}]

[4000000 0,01 - 20000 \frac{1}{C} + \frac{1}{4000000 * C^{2}} = 40000 - \frac{20000}{C} + \frac{1}{4000000C^{2}}]

Чтобы найти минимальное значение этого выражения, найдем его производную и приравняем к нулю:

[\frac{d}{dC} \left(40000 - \frac{20000}{C} + \frac{1}{4000000C^{2}}\right) = 20000C^{-2} - \frac{1}{2 4000000 C^{3}} = 0]

[20000C^{-2} = \frac{1}{2 4000000 C^{3}}]

[20000 = \frac{1}{2 4000000 C^{2}}]

[20000 = \frac{1}{8000000 * C^{2}}]

[20000 8000000 C^{2} = 1]

[C^{2} = \frac{1}{160000000000}]

[C = \sqrt{\frac{1}{160000000000}} \approx 0,00015811 Ф = 158,11 мкФ]

Таким образм, при емкости конденсатора 158,11 мкФ ток в цепи будет максимальным при частоте сигнала 1 кГц.