На гладком горизонтальном полу лежит тонкая соломинка массы M и длины L. На одном из концов соломинки сидит кузнечик массы m. С какой минимальной по модулю скоростью должен прыгнуть кузнечик чтобы оказаться на другом конце соломинки?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы кузнечик оказался на другом конце соломинки, необходимо чтобы сумма моментов импульса кузнечика и соломинки относительно точки опоры (конца соломинки, на котором сидит кузнечик) оставалась постоянной.

Обозначим скорость кузнечика как v, скорость соломинки как V, расстояние от кузнечика до точки опоры как x. Тогда момент импульса кузнечика относительно точки опоры равен m(L-x)v, а момент импульса соломинки равен MxV.

Из условия постоянства моментов импульса получаем уравнение:
m(L-x)v = MxV

Также, из соотношения скоростей V = v + ωL, где ω - угловая скорость соломинки, получаем:
ω = V / L = (v+ωL) / L = v/L + ω

Теперь можем заменить V в уравнении:
m(L-x)v = Mx(v/L + ω)

Далее подставим выражение для ω из последнего уравнения и разрешим относительно v:
m(L-x)v = Mx(v/L + v/L + ω)
m(L-x)v = 2Mxv/L + Mxω
m(L-x)v = 2Mxv/L + Mxv/L

Делим обе части равенства на v и на m(L-x):
1 = (2M/(Lm) + M/(Lm)) * v

Таким образом, минимальная по модулю скорость прыжка кузнечика равна:
v = 1 / ((2M/(Lm) + M/(L*m))) = 1 / (3M/(Lm)) = Lm / 3M

Ответ: минимальная по модулю скорость, с которой должен прыгнуть кузнечик, чтобы оказаться на другом конце соломинки, равна Lm / 3M.