На краю горизонтальной платформы массой М = 200 кг имеющей форму диска и вращающейся с угловой скоростью w1 = 5 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр, стоит человек, масса которого m = 60 кг. пренебрегая трением, определить угловую скорость вращения платформы, если человек перейдет по радиусу платформы от края к центру. Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса.

Изначально момент импульса системы (человек + платформа) равен:
L1 = I1 w1 + m r1^2 * w1,
где I1 - момент инерции платформы относительно вертикальной оси вращения, w1 - угловая скорость вращения платформы, m - масса человека, r1 - радиус платформы.

После того как человек перешел от края к центру, момент импульса системы станет:
L2 = I2 w2 + m r2^2 * w2,
где I2 - момент инерции платформы с человеком относительно вертикальной оси вращения, w2 - угловая скорость вращения платформы после перемещения человека, r2 - новый радиус платформы.

Поскольку моменты импульса должны быть равны, то:
I1 w1 + m r1^2 w1 = I2 w2 + m r2^2 w2.

Момент инерции платформы с человеком относительно вертикальной оси можно рассчитать, используя теорему Гюйгенса-Штейнера:
I2 = I1 + m * d^2,
где d - расстояние от центра платформы до человека.

Таким образом, уравнение примет вид:
I1 w1 + m r1^2 w1 = (I1 + m d^2) w2 + m r2^2 * w2.

Можно также использовать известное выражение для момента инерции диска относительно его центра: I = 1/2 M r^2.
Таким образом, I1 = 1/2 M r1^2 и I2 = 1/2 M r2^2.

Подставим все значения в уравнение и найдем угловую скорость вращения платформы после перемещения человека.