Ёмкость конденсатора колебательного контура уменьшили на 4 мкФ. При этом частота собственных колебаний изменилась в 3 раза. Чему равна первоначальная ёмкость конденсатора?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первоначальная ёмкость конденсатора равна С мкФ, тогда новая ёмкость будет равна (C - 4) мкФ.

По формуле для частоты собственных колебаний колебательного контура:

f = 1 / (2π√(LC))

где L - индуктивность контура, C - ёмкость конденсатора.

Поскольку частота собственных колебаний увеличилась в 3 раза, получаем уравнение:

1 / (2π√(LC)) = 3 / (2π√((C-4)L))

Упрощаем уравнение, убираем 2π:

√(C(L)) = 3√(((C-4)L))

Возводим обе части уравнения в квадрат:

C * L = 9(C-4)L

Раскрываем скобки:

CL = 9C - 36L

Переносим все переменные в одну сторону уравнения:

CL + 36L = 9C

L(C + 36) = 9C

L = 9C / (C + 36)

Так как LC = 2², то L = 8/C

Таким образом:

8 / C = 9C / (C + 36)

8(C + 36) = 9C²

8C + 288 = 9C²

9C² - 8C - 288 = 0

Решая это квадратное уравнение, находим два корня: C1 ≈ 16, C2 ≈ -18.

Так как ёмкость не может быть отрицательной, то первоначальная ёмкость конденсатора равна 16 мкФ.