Эта формула верна для суммы первых n членов арифметической прогрессии и доказывается следующим образом:

Пусть S_n обозначает сумму первых n членов арифметической прогрессии, а S_1 обозначает первый член данной прогрессии. Тогда имеем:

S_n = S_1 + (S_1 + d) + (S_1 + 2d) + ... + (S_1 + (n-1)d),

где d - разность прогрессии.

Так как каждый член данной суммы является арифметической прогрессией, то можем записать:

S_n = nS_1 + d(1+2+...+n-1) = nS_1 + (1+2+...+n-1)d,

где (1+2+...+n-1) = n*(n-1)/2 - формула для суммы первых n натуральных чисел.

Таким образом, S_n = nS_1 + (n(n-1)/2)d = n(S_1 + (n-1)/2*d).

Так как S_n = n²S_1, то окончательно получаем формулу: n²S_1 = n(S_1 + (n-1)/2d).