Вектор a+b перпендикулярен вектору a-b. Докажите, что модули векторов a и b равны другу другу: a = b . Приведите пример таких векторов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим следующее:

Запишем условие данное в задаче: a + b перпендикулярен a - b. Для векторов a и b выполняется следующее выдление: a*b = 0.

Теперь распишем векторное произведение:

(a + b) * (a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

Так как векторы a + b и a - b перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Поэтому выражение a^2 - b^2 = 0, что приводит к равенству модулей векторов a и b: a = b.

Пример таких векторов можно привести следующий: пусть a = (1, 1) и b = (-1, 1). Тогда a + b = (0, 2) и a - b = (2, 0). Проверим их взаимное перпендикулярное положение:

(0, 2) (2, 0) = 0 2 + 2 * 0 = 0

Так как скалярное произведение равно 0, то вектора a + b и a - b перпендикулярны, и модули векторов a и b равны друг другу: a = b = sqrt(2).