На бесконечной стене весит пушка, которая может стрелять под любыми углами. Найти углы
α
, при которых вектор перемещения снаряда будет перпендикулярен скорости ровно один раз за все время полета (не считая начального момента).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть пушка стреляет с начальной скоростью v под углом α к горизонту. Пусть время полета снаряда равно T.

Тогда вектор скорости снаряда можно записать как V = v(cosα, sinα), а вектор ускорения гравитации как g = (0, -g).

Таким образом, уравнение движения снаряда будет иметь вид:
r(t) = (vcosα)t i + (vsinα)t - (g/2)t^2 j

где i и j - единичные векторы осей x и y соответственно, t - время полета.

Для того, чтобы вектор перемещения снаряда был перпендикулярен его скорости в какой-то момент времени t, их скалярное произведение должно равняться нулю:
(r'(t), r(t)) = 0

Производная вектора r(t) равна:
r'(t) = vcosα i + vsinα j - gt j

Тогда необходимым и достаточным условием для перпендикулярности скорости и перемещения снаряда в какой-то момент времени t будет равенство нулю скалярного произведения r'(t) и r(t):
(vcosα - gt) (vcosα) + (vsinα) (vsinα - gt) = 0

Раскрыв это, получим:
v^2cos^2α - gvcosαt + v^2sin^2α - gvsinαt = 0

Так как sin^2α + cos^2α = 1, то уравнение преобразуется в:
v^2 - gt(vsinalpha + tcosα) = 0

Далее, допустим t = T - время полета. Обозначим vsinα = u, что общая скорость вектора и tcosα = s - угол смещения относительно горизонтали в момент времени t:
v^2 - guT = 0

Теперь можно решить уравнение относительно α:
u = v(sinα)
s = v(cosα)

Тогда мы получим:
v^2 - gvsinαT = 0
sinα = gT / v

Таким образом, углы α, при которых вектор перемещения снаряда будет перпендикулярен скорости ровно один раз за все время полета, определяются уровнением sinα = gT / v.