Вектор a+b перпендикулярен вектору a−b. Докажите, что модули векторов a и b равны другу другу: a=b. Приведите пример таких векторов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение:

Пусть вектор a+b перпендикулярен вектору a−b. Тогда их скалярное произведение равно нулю:

(a+b) • (a−b) = 0

(a • a) + (a • (-b)) + (b • a) + (b • (-b)) = 0

|a|^2 - |a|^2 + (b • a) - (b • a) = 0

|a|^2 - |a|^2 = 0

Следовательно, модули векторов a и b равны друг другу: |a| = |b|

Примером таких векторов могут быть вектор a = (1,1) и вектор b = (1,-1). Тогда:
a + b = (1,1) + (1,-1) = (2,0)
a - b = (1,1) - (1,-1) = (0,2)

Вектор (2,0) перпендикулярен вектору (0,2), и модули векторов a и b равны |a| = |b| = √2.