Космический корабль массой m вращается по круговой орбите вокруг Земли с центростремительным ускорением a. Каков радиус его орбиты? Радиус Земли R. Нужно вывести формулу

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для космического корабля массой m, находящегося на круговой орбите вокруг Земли, центростремительное ускорение равно центростремительной силе, которая равна гравитационной силе.

Центростремительное ускорение можно выразить как ( a = \frac{v^2}{r} ), где v - скорость корабля, r - радиус орбиты.

Гравитационная сила действующая на корабль равна ( F = \frac{GMm}{r^2} ), где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, M - масса корабля.

Поскольку F = m * a, то можно приравнять формулы:

( \frac{GMm}{r^2} = m * \frac{v^2}{r} )

Убираем массу корабля m:

( \frac{GM}{r} = v^2 )

Так как скорость корабля v равна ( v = \frac{2\pi r}{T} ), где T - период обращения, подставляем это выражение в уравнение:

( \frac{GM}{r} = \left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 )

Далее решаем уравнение относительно радиуса r:

( \frac{GM}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2} )

( r^3 = \frac{GMT^2}{4\pi^2} )

( r = \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}} )

Таким образом, радиус орбиты космического корабля равен ( \left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}} ).