Луна движется вокруг Земли со скоростью 1,02км/ч. Определите массу земли.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения массы Земли можно воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит: (F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}), где (F) - сила гравитационного притяжения между Землей и Луной, (G) - гравитационная постоянная, (M) - масса Земли, (m) - масса Луны, (r) - расстояние между центрами Земли и Луны.

Учитывая, что центробежное ускорение луны равно гравитационному ускорению (так как Луна движется по круговой орбите), можно записать соотношение между центробежным ускорением и гравитационным ускорением:

[a_{\text{центробежное}} = \frac{{v^2}}{R} = \frac{{GM}}{R^2} , ]

где (v) - скорость Луны, (R) - радиус орбиты Луны.

Из этого уравнения можно найти радиус орбиты Луны (R) и подставить это значение в первое уравнение, чтобы определить массу Земли:

[R = \frac{{G \cdot M}}{{v^2}} , ]

[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R^2}} = \frac{{GMm}}{{\left(\frac{{GM}}{{v^2}}\right)^2}} = \frac{{GMm \cdot v^4}}{{G^2 M^2}} , ]

[F = \frac{{Mm \cdot v^4}}{G \cdot M^2} , ]

[M = \frac{{m \cdot v^4}}{F \cdot G} = \frac{{m \cdot (1,02 \, \text{км/ч})^4}}{F \cdot G}.]

Теперь нужно знать значение силы гравитационного притяжения между Землей и Луной, (F). Для этого используем формулу: (F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}), где (r) - расстояние между центрами Земли и Луны (384 400 км), (m) - масса Луны.

[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(384 400 \, \text{км})^2}}, ]

[M = \frac{{m \cdot v^4}}{F \cdot G} = \frac{{m \cdot (1,02 \, \text{км/ч})^4}}{\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(384 400 \, \text{км})^2}} \cdot G}, ]

[M = \frac{{m \cdot (1,02 \, \text{км/ч})^4 \cdot (384 400 \, \text{км})^2}}{G \cdot m}, ]

[M = (1,02 \, \text{км/ч})^4 \cdot (384 400 \, \text{км})^2. ]

Вычислив данное выражение, получим массу Земли.