На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m = 0,1 кг. Брусок соединён с вертикальными стойками: c левой стойкой через лёгкий блок, пружину жёсткостью к1 = 20 Н/м и нить АВ; c правой – с помощью пружины жёсткостью к1 = 40 Н/м. Блок может свободно скользить по нити. Пренебрегая трением в оси блока, определить период малых колебаний тела. В положении равновесия обе пружины растянуты.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения периода малых колебаний тела в данной системе можно воспользоваться методом силы упругости.

Обозначим длины невязки пружин у левой и правой стоек как x1 и x2 соответственно. При отклонении бруска на расстояние x от положения равновесия, сила упругости в левой пружине будет равна F1 = k1 x1, а в правой пружине F2 = k2 x2.

Используя закон Гука, найдем длины невязки пружин:
x1 = F1 / k1 = m g / k1,
x2 = F2 / k2 = m g / k2,
где g - ускорение свободного падения.

Сумма всех сил упругости равна нулю:
-k1 x1 + k2 x2 = 0,
-m g / k1 + m g / k2 = 0,
m g (1 / k2 - 1 / k1) = 0,
m g (k1 - k2) / (k1 k2) = 0,
получаем
g = (k1 k2) / (k1 - k2).

Теперь найдем ускорение при выполнении малых колебаний:
a = - (k1 + k2) x / m,
a = - (k1 + k2) A * cos(ωt),
где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота.

Подставим значение ускорения в уравнение:
(k1 + k2) A cos(ωt) = m g,
(k1 + k2) A cos(ωt) = m (k1 k2) / (k1 - k2),
(k1 + k2) A = m (k1 k2) / (k1 - k2),
A = m (k1 k2) / ((k1 + k2) * (k1 - k2)).

Период колебаний определяется формулой:
T = 2π / ω,
T = 2π / sqrt((k1 + k2) / m),
T = 2π / sqrt((20 + 40) / 0,1),
T ≈ 2,77 сек.

Итак, период малых колебаний тела в данной системе составляет примерно 2,77 секунды.