Два мяча брошены одновременно навстречу друг другу с одинаковыми скоростями: первый вертикально вверх с поверхности Земли, второй – вертикально вниз с высоты Н. Известно, что к моменту встречи один из мячей пролетел путь 1/3Н. Чему равна скорость второго мяча в этой точке?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ( v ) - скорость мяча, брошенного вертикально вниз с высоты ( H ).

Запишем уравнение движения для первого мяча (вверх):
[ v_1^2 = u_1^2 - 2gh ]
где ( v_1 = 0 ) (скорость в верхней точке равна 0), ( u_1 ) - начальная скорость, ( h = \frac{1}{3}H ) - пройденный путь первым мячом.

Для второго мяча:
[ v^2 = u^2 + 2gh ]
где ( v ) - искомая скорость, ( u = 0 ) (скорость в верхней точке равна 0), ( h = \frac{2}{3}H ) - высота, с которой брошен второй мяч.

Так как оба мяча брошены одновременно и встречаются на высоте ( \frac{1}{3}H ), то пройденные ими пути равны, т.е. ( u_1t = gt^2 ) и ( ut = gt^2 ), откуда ( u_1 = 2u ).

Подставим ( u_1 = 2u ) и ( h = \frac{1}{3}H ) в уравнение для первого мяча:
[ 0 = 4u^2 - 2g \cdot \frac{1}{3}H ]
[ 4u^2 = \frac{2}{3}gH ]
[ u^2 = \frac{1}{6}gH ]

Теперь подставим ( u = \sqrt{\frac{1}{6}gH} ) и ( h = \frac{2}{3}H ) в уравнение для второго мяча:
[ v^2 = 0 + 2g \cdot \frac{2}{3}H ]
[ v^2 = \frac{4}{3}gH ]
[ v = \sqrt{\frac{4}{3}gH} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{gH} ]

Итак, скорость второго мяча в точке встречи равна ( \frac{2}{\sqrt{3}} ) раза скорости свободного падения умноженной на корень из ( H ).