С поверхности земли под углом α=30° к горизонту бросают камень. На какую максимальную высоту над точкой броска поднимается камень, если радиус кривизны его траектории в наивысшей точке составляет r=15.6 м?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения максимальной высоты поднимаемого камня воспользуемся законом сохранения энергии.

Кинетическая энергия камня в момент броска равна потенциальной энергии камня в его наивысшей точке.

Пусть высота, на которую поднимается камень, равна h. Тогда потенциальная энергия камня в его наивысшей точке равна mgh, где m - масса камня, g - ускорение свободного падения.

Кинетическая энергия камня в момент броска составляет K = (m*v^2)/2, где v - скорость броска камня.

Учитывая, что по закону сохранения энергии K = mgh, имеем выражение:

(m*v^2)/2 = mgh

v^2 = 2gh

v = sqrt(2gh)

Учитывая, что горизонтальная составляющая скорости v_x = vcos(α), вертикальная v_y = vsin(α), имеем следующие соотношения:

v_x = v*cos(α)

v_y = v*sin(α)

Также известно, что кривизна траектории в наивысшей точке равна 1/r, где r - радиус кривизны траектории. Тогда касательная составляющая скорости камня в этой точке равна:

v_t = v_x = v*cos(α)

Для нахождения вертикальной составляющей скорости в наивысшей точке воспользуемся соотношением касательной и нормальной составляющих скорости:

v_n = v_t/r

v_y = v_n = (v_x)/r = (v*cos(α))/r

Таким образом, имеем:

(v*sin(α))^2 = 2gh

(v*cos(α))^2/r^2 = 2gh

Отсюда найдем h:

h = (vsin(α))^2 / 2g = (v^2 sin^2(α)) / 2g = (2gh sin^2(α)) / 2g = h sin^2(α)

h = r sin^2(α) = 15.6 sin^2(30°) ≈ 15.6 * 0.25 ≈ 3.9 м

Таким образом, максимальная высота, на которую поднимается камень над точкой броска, составляет около 3.9 метров.