Во время путешествие на воздушном шаре изменили атмосферное давление в начале подъёма. оно оказалось равным 756 мм. рт. ст. Через небольшой промижуток времени давление стало 744 мм.рт.ст. На какую высоту поднялся воздушный шар? Считайте, что плотность воздуха 10000 раз меньше плотности ртути. Изменение плотности воздуха с высотой не учитывайте

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давление воздушного столба зависит от его высоты по формуле:
P = P0 exp(-M g h / (R T))

где P0 - давление на уровне моря,
M - молярная масса воздуха,
g - ускорение свободного падения,
h - высота,
R - универсальная газовая постоянная,
T - температура.

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

P0 exp(-M g h1 / (R T)) = 756
P0 exp(-M g h2 / (R T)) = 744

Поделим уравнения друг на друга:

exp(-M g h1 / (R T)) / exp(-M g h2 / (R T)) = 756 / 744

exp(M g (h2 - h1) / (R * T)) = 756 / 744

M g (h2 - h1) / (R * T) = ln(756 / 744) = ln(1.01613)

h2 - h1 = R T / (M g) * ln(1.01613)

Дифференцируемое давление можно записать как:

P0 = ρ g h1

Подставляем это в общее уравнение давления и далее дифференцируем:

ρ g h1 exp(-M g h1 / (R T)) = 756

h1 = R T / (M g) ln(P0 / (ρ g)) = R T / (M g) ln(756 / (ρ g))

Поэтому высота, на которую поднялся воздушный шар, будет:

h = h1 + h2 = 2 R T / (M g) ln(756 / (ρ * g))

Подставляем данные:

h = 2 8.31 J/(molK) 273 K / ((28.97 g/mol) 9.81 m/s^2) ln(756 / (10000 13.6 kg/m^3 * 9.81 m/s^2))

h ≈ 2 2259.63 / 543.6 ln(0.0055681) ≈ 2317.3 meters.

Поэтому воздушный шар поднялся на высоту около 2317 метров.