При движении тела проекции его скорости изменяются по закону Vx=5t м/с, Vy=4t2 м/с. Найти выражения для радиус–вектора и вектора ускорения тела. Определить значения тангенциального и нормального ускорения тела через 10 с после начала движения. Считать, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатами (3,4).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения радиус-вектора и вектора ускорения тела, используем уравнения движения:

dx/dt = Vx = 5t
dy/dt = Vy = 4t^2

Интегрируем по t, чтобы найти выражения для координат x и y:

x = ∫(5t dt) = 5(t^2)/2 + C1
y = ∫(4t^2 dt) = (4t^3)/3 + C2

Подставим начальные условия (x(0) = 3, y(0) = 4) для нахождения констант C1 и C2:

3 = 5(0)^2/2 + C1 => C1 = 3
4 = 4(0)^3/3 + C2 => C2 = 4

Таким образом, уравнения для координат радиус-вектора имеют вид:

x = 5(t^2)/2 + 3
y = (4t^3)/3 + 4

Теперь найдем вектор скорости:

V = dR/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j = 5ti + 8t^2j

Ускорение тела определяется как производная по времени от вектора скорости:

a = dV/dt = (d(5t)i/dt) + (d(8t^2)j/dt) = 5i + 16tj

Теперь находим значения тангенциального и нормального ускорения через 10 с после начала движения:

При t = 10 с:

V = 5(10)i + 8(10)^2 j = 50i + 800j
a = 5i + 16(10)j = 5i + 160j

Тангенциальное ускорение равно проекции ускорения на касательную к траектории вектора скорости:

a_t = a • V / |V| = (550 + 160 800) / √(50^2 + 800^2) ≈ 80.993 м/с^2

Нормальное ускорение равно проекции ускорения на нормаль к траектории вектора скорости:

a_n = √(|a|^2 - a_t^2) ≈ √((5^2 + 160^2) - 80.993^2) ≈ 78.622 м/с^2

Таким образом, тангенциальное ускорение составляет около 80.993 м/с^2, а нормальное ускорение около 78.622 м/с^2.