Идеальный газ размером в один моль расширяется с законом P/V=const. В этот момент объем газа увеличился в 3 раза, а его внутренняя энергия возросла на 9.9 *10^3 Дж. Найти первоначальную температуру газа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из уравнения идеального газа PV = nRT следует, что P1V1/T1 = P2V2/T2, где индексы 1 и 2 обозначают начальные и конечные состояния газа.

Из условия задачи известно, что V2 = 3V1. Также известно, что при расширении внутренняя энергия газа увеличилась на 9.9 * 10^3 Дж. Поскольку внутренняя энергия однозначно связана с температурой газа, можно записать:

ΔU = nCvΔT,
где ΔU - изменение внутренней энергии, n - количество вещества, Cv - молярная удельная теплоемкость при постоянном объеме, ΔT - изменение температуры.

Теперь запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного состояний:

P1V1/T1 = P2V2/T2,

P1/T1 = P2/T2 * 3,

T2/T1 = P1/P2/3 = 1/3

Теперь у нас есть два уравнения:

Так как у нас расширение газа происходит при постоянном объеме, то Cv = Cp - R.

Для молярной удельной теплоемкости при постоянном давлении Cp = 5/2 R, где R - универсальная газовая постоянная.

Тогда для mолярной удельной теплоемкости при постоянном объеме получаем, что Cv = 3/2 R.

Тогда ΔU = nCvΔT можно переписать в виде:

ΔU = n 3/2 R ΔT,
9.9 10^3 = n 3/2 R ΔT,
n R = P1 V1 / T1,
9.9 10^3 = P1 V1 3/2 ΔT / T1,
ΔT = 3 ΔU / (2 P1 V1 / T1)
ΔT = 3 9.9 10^3 / (2 P1 V1 / T1)
ΔT = 3 9.9 10^3 T1 / (2 P1 V1)

Так как T2 = 1/3 T1, то для температуры можно написать,
ΔT / T1 = ΔU = 3 9.9 10^3 T1 / (2 P1 V1)

Также из уравнения идеального газа можно выразить P1 и P2 через V1 и V2:

P1 = P2 * V2 / V1,
P2 = P1 / 3,

Подставим это в уравнение для температуры:
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 T1 / (2 P1 V1),
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 T1 / (2 P1 V1) | P1 = P2 V2 / V1,
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 T1 / (2 (P2 V2 / V1) V1),
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 T1 / (2 P2 V2)

Так как P2 = P1 / 3,
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 T1 / (2 (P1 / 3) 3 V1),
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 T1 / 2 (P1 / 3) 3 V1
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 T1 / 2 (P1) V1,
ΔT / T1 = 3 9.9 10^3 / 2 P1
3 ΔT / T1 = 9.9 10^3 / (P1),
3 3 ΔT / T1 = 9.9 10^3 / (P1),
T1 = 9.9 10^3 / (3 3 ΔT)
T1 = 9.9 10^3 / (9 ΔT)
T1 = 1.1 10^3 / ΔT
T1 = 1.1 10^3 / 9.9 10^3
T1 = 0.1

Первоначальная температура газа равна 0.1 K.