Задача по геометрии
В прямоугольном треугольнике АВС, угол В=90°, АВ=4, ВС=3, радиус окружности, вписанной в этот треугольник -1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем длины сторон треугольника:

Пусть точка касания окружности со стороной АВ равна D, со стороной ВС - Е, а с гипотенузой - F.

Так как радиус вписанной окружности равен 1, то основание перпендикуляра, опущенного из точки касания на сторону АВ, равно 1. То есть, AD = 1.

Так как треугольник АЕФ подобен треугольнику АBC, то мы можем записать пропорцию:

AD/AE = BC/BF

1/(BC-1) = 3/BF

BF = 3(BC-1)

Так как треугольник BDF прямоугольный, то мы можем составить еще одну пропорцию:

BC/BF = CF/BC

BC/(3(BC-1)) = CF/BC

CF = BC^2 / (3(BC-1))

Так как треугольник ACF также подобен треугольнику ABC, можем записать пропорцию:

BC/CF = AB/AC

BC / (BC^2 / (3(BC-1))) = 4/(AC+3)

3(BC-1) / BC = 4 / (AC + 3)

3BC - 3 = 4AC + 12

3BC - 4AC = 15

Учитывая BC^2 = AC(AC+3) по теореме Пифагора:

3BC - 4(sqrt(BC^2 - 3)) = 15

3BC - 4sqrt(BC^2 - 3) = 15

Решив данное уравнение, мы найдем значение BC.

Подставив найденное значение BC обратно в пропорции, мы можем найти другие стороны треугольника.