Биссектриса треугольника ABC (невырожденного), проведенная из точки A, делит сторону BC на отрезки длины 11 и 13. Найдите наибольшее возможное целое значение периметра треугольника ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку, в которой биссектриса пересекает сторону BC за D. Так как биссектриса делит сторону BC на отрезки длиной 11 и 13, то BD = 11 и CD = 13.

Построим также высоту треугольника из вершины A, обозначим точку ее пересечения с BC за H.

Так как треугольник ABC невырожденный, то BD + CD > BC, откуда 11 + 13 > BC, т.е. BC < 24.

Из прямоугольного треугольника ABC мы можем выразить AH и AC:

AH = ADC = sqrt(BD CD) = sqrt(13 11) = sqrt(143),

AC = sqrt(AD^2 - DC^2) = sqrt(AD^2 - 13^2).

Так как AD = AC * AB / (AC + AB):

sqrt(143) = sqrt(AD) = sqrt((AC * AB) / (AC + AB)),

то 143 = (AC * AB) / (AC + AB),

143(AC + AB) = AC * AB,

143AC + 143AB = AC * AB.

Очевидно, что максимальное значение этого уравнения можно достигнуть, когда AC и AB целые числа, тогда:

AC = 13,
AB = 143 / 13 = 11.

Таким образом, наибольшее возможное значение периметра треугольника ABC равно:

AB + AC + BC = 11 + 13 + 24 = 48.

Ответ: 48.