Даны два равносторонних треугольника А1 В1 С1 и А2 В2 С2 одиноковой ориентации Отрезки А1 А2, В1 В2 и С1 С2 разделены точками А, В и С в одном и том же отношении соответственно от концов А1 В1 и С1 Доказать что треугольник АВС равностороннии

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона равносторонних треугольников А1В1С1 и А2В2С2 равны l.

Так как отрезки А1А2, В1В2 и С1С2 делятся точками А, В и С в одном и том же отношении, то длины этих отрезков можно представить как соответственно x, y и z:

AA1 = x, AA2 = l - x
BB1 = y, BB2 = l - y
CC1 = z, CC2 = l - z

Так как треугольники А1В1С1 и А2В2С2 равносторонние, то верно следующее:

x + y = l
y + z = l
x + z = l

Сложим все уравнения:

2(x + y + z) = 3l

Делим на 2 и получим:

x + y + z = 1.5l

Таким образом, сумма длин отрезков АА1, ВВ1 и CС1 равна половине периметра треугольника А1В1С1.

С другой стороны, так как отрезки АА1, ВВ1 и CС1 разделяются точками А, В и С в одном и том же отношении, то треугольник АВС также является равносторонним.

Следовательно, треугольник АВС также является равносторонним.