Довести теорему про центр кола описаного навколо трикутника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теорема: Центр описаного круга вокруг треугольника является пересечение перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных из середин этих сторон.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC и его описанный круг с центром O. Проведем медианы треугольника ABC, пересекаясь в точке G (центр масс треугольника), и проведем от центра круга O перпендикуляры к сторонам треугольника, пересекаясь в точках A', B' и C'.

Так как круг описан вокруг треугольника, все три вершины треугольника лежат на окружности, следовательно, углы между радиусами и хордами равны. Таким образом, угол AOB равен углу ACB. Но угол ACB также равен углу AGC, так как медиана делит треугольник на две равные части. Следовательно, угол AOB также равен углу AGC.

Аналогично, углы BOC и BGC также равны.

Теперь рассмотрим треугольник A'B'C'. Так как мы провели перпендикуляры из центра описанного круга к сторонам, то эти перпендикуляры будут равнобедренными треугольниками, и зная, что углы AGC, BGC и AOB равны, то углы A'GC, B'GC и A'OB также равны.

Таким образом, угол A'OB' равен углу между сторонами треугольника, чем и доказано, что центр описанного круга является пересечением перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных из середин этих сторон.