Сфера радиуса 10 см касается всех сторон прямоугольного треугольника ABD (угол D = ), длины катетов которого равны 6 и 8 см. Вычислите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим, является ли прямоугольный треугольник ABD прямоугольным.

Из условия известно, что радиус сферы равен 10 см и касается всех сторон треугольника. Это значит, что точка касания (точка К) является серединой гипотенузы BD.

Так как сложили стороны прямоугольного треугольника равны катетам, то треугольник ABD является прямоугольным.

По теореме о касательной к окружности, проведенной касательно к окружности извне, угол между радиусом и касательной равен 90 градусов.

Теперь найдем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Пусть точка К - середина гипотенузы BD. Тогда ΔAKC - прямоугольный треугольник, где К - центр сферы, АК - радиус сферы.

Так как ΔAKC - прямоугольный треугольник, то расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно AK.

По теореме косинусов в треугольнике ABD
AB^2 = AD^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 10
AB = 10

По теореме Пифагора в треугольнике AKC
AK^2 = AC^2 - KC^
AK^2 = AB^2 + BC^2 - KC^
AK^2 = 10^2 + 6^2 - 2.5^
AK = √(100 + 36 - 25) = √111 ≈ 10.54

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 10.54 см.