. Объём пирамиды ABCD равен V. Призма MNPM1N1P1 расположена так, что грань MPP1M1 вписана в грань ABC пирамиды, ребро M1P1 лежит на ребре AB, вершина N лежит на ребре CD, вершина N1 принадлежит пирамиде. Найдите наибольший возможный объём призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего возможного объема призмы, необходимо найти такие размеры, при которых площадь основания призмы будет максимальной.

Пусть x - длина отрезка MN, y - длина отрезка M1N1. Так как грань MPP1M1 вписана в грань ABC, то x+y = h, где h - высота пирамиды. Также площадь основания призмы равна S = xy.

Объем пирамиды равен V = (1/3)Sh = (1/3)xyh.

Выразим переменные x и y через h: x = h - y.

Тогда S = (h-y)*y = hy - y^2.

Для нахождения максимума функции S(h) = hy - y^2 необходимо найти производную и приравнять ее к нулю: S'(h) = y - 2y = 0 => y = h/2.

Таким образом, чтобы получить наибольший возможный объем призмы, необходимо, чтобы y было равно h/2, а следовательно x тоже было равно h/2.

V(max) = (1/3)(h/2)(h/2)*h = h^3/12.

Таким образом, наибольший возможный объем призмы равен h^3/12.