В призме ABCA1 B1 C1 точки M, N и P – середины рёбер A1B1, B1C1 и C1A1 соответственно. Отрезки BM, CN и AP попарно перпендикулярны, и длина каждого равна a. Найдите объём призмы.
В призме ABCA1 B1 C1 точки M, N и P – середины рёбер A1B1, B1C1 и C1A1 соответственно. Отрезки BM, CN и AP попарно перпендикулярны, и длина каждого равна a. Найдите объём призмы.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Отвечай на вопросы, зарабатывай баллы и трать их на призы.
Подробнее
Подробнее
Обозначим длину ребра призмы за l, тогда отрезки BM, CN и AP являются диагоналями прямоугольного треугольника BCP. Так как BM, CN и AP являются перпендикулярными к его сторонам, то BCP также является прямоугольным треугольником. Значит, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
l^2 + a^2 + a^2 = (2a)^2
l^2 + 2a^2 = 4a^2
l^2 = 2a^2
Теперь найдем объем призмы, который равен произведению площади основания на высоту:
V = S * h
где S - площадь основания, а h - высота призмы.
Площадь основания равна a^2, а высота равна a, так как точки M, N и P - середины ребер, лежащих в плоскости основания.
Таким образом, V = a^2 * a = a^3.
Ответ: объем призмы равен a^3.