В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC , угол ADB-острый.Докажите что BC больше BD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим длины отрезков от точек A, B, C и D как AB = a, BC = b, CD = d и DA = x.

Так как угол ADB острый, то (\angle ABD < 90^\circ) и следовательно,
[
\cos(\angle ADB) = \frac{AB^2 + BD^2 - AD^2}{2 \cdot AB \cdot BD} > 0.
]

Подставим в данное неравенство известные значения:
[
\cos(\angle ADB) = \frac{a^2 + b^2 - (x + d)^2}{2 \cdot a \cdot b} > 0.
]

Раскроем скобки и преобразуем неравенство:
[
\frac{a^2 + b^2 - (x^2 + d^2 + 2 \cdot x \cdot d)}{2 \cdot a \cdot b} > 0.
]

Упростим выражение:
[
\frac{(b - d)^2 - x^2}{2 \cdot a \cdot b} > 0.
]

Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то (b > d). Следовательно,
[
(b - d)^2 > 0 \quad \text{и} \quad x^2 < (b - d)^2.
]

Таким образом, имеем:
[
\frac{(b - d)^2 - x^2}{2 \cdot a \cdot b} > 0,
]

что означает, что (b > \frac{2 \cdot a \cdot x + 2 \cdot a \cdot d}{2 \cdot b} = BD).

Таким образом, доказано, что (BC > BD).