Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы равной 12 дм. Найдите объем полученного тела вращения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема тела вращения, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, необходимо знать формулу объема обращения - (V = \pi \cdot \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx), где (f(x)) - это функция, задающая сечение.

Так как в данном случае у нас треугольник, сечением является равнобедренный прямоугольный треугольник, значит его площадь равна (S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}), где (a) - катет треугольника.

Теперь, имея формулу площади сечения, можем выразить объем обращения как (V = \pi \cdot \int_{0}^{12} [\frac{x^2}{2}]^2 \, dx).

Проинтегрируем это выражение:

(V = \pi \cdot \int_{0}^{12} [\frac{x^4}{4}] \, dx = \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{x^5}{5} |_0^{12} = \pi \cdot \frac{12^5}{4 \cdot 5} = \pi \cdot \frac{248832}{20} = 12441.6 \, см^3).

Ответ: объем полученного тела вращения равен 12441.6 кубическому сантиметру.