Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них в отношении 2:3. Найтибольшее основание трапеции, если ее средняя линия равна 15 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим большее основание трапеции за (a), меньшее основание за (b)
По условию задачи, точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них в отношении 2:3. Пусть диагональ, которая делится в таком отношении, равна (d). Тогда (DO:OE = 2:3), где (DO) и (OE) - отрезки диагонали, которую мы ищем
Так как точка пересечения диагоналей трапеции является центром тяжести, то (OD = \frac{2}{3}OE)
По теореме Пифагора в треугольнике ODE
(\frac{3b}{4})^2 + h^2 = (\frac{5b}{4})^2
\frac{9b^2}{16} + h^2 = \frac{25b^2}{16}
h^2 = \frac{25 - 9}{16}b^2
h^2 = \frac{16}{16}b^2
h = \frac{b}{4}\sqrt{7}
Длина средней линии равна полусумме оснований трапеции
15 = \frac{a + b}{2}
a + b = 30
b = 30 - a
Подставим (b = 30 - a) в (h = \frac{b}{4}\sqrt{7})
h = \frac{30 - a}{4}\sqrt{7}
\frac{30 - a}{4}\sqrt{7} = \frac{a}{4}\sqrt{7}
\sqrt{7}(30 - a) = a
7(900 - 60a + a^2) = a^2
6300 - 420a + 7a^2 = a^2
6a^2 - 420a + 6300 = 0
a^2 - 70a + 1050 = 0
a{1,2} = \frac{70 \pm \sqrt{70^2 - 4*1050}}{2}
a{1,2} = \frac{70 \pm \sqrt{4900 - 4200}}{2}
a{1,2} = \frac{70 \pm \sqrt{700}}{2}
Так как (a) - длина основания, а (b = 30 - a), то (a < 30), тогд
a{1,2} = \frac{70 \pm 10\sqrt{7}}{2}
a = 35 \pm 5\sqrt{7}
a = 35 + 5\sqrt{7} см
Таким образом, наибольшее основание трапеции равно (35 + 5\sqrt{7}) см.