Основание прямой пирамиды квадрат с диагональю 5см , боковое ребро 6 см. найти площадь боковой поверхности пирамиды и ее объем

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту боковой грани пирамиды, используя теорему Пифагора:

Пусть сторона квадрата основания пирамиды равна (a).
Тогда из условия задачи (a\sqrt{2} = 5) (по теореме Пифагора), откуда (a = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}).

Далее, можно найти высоту пирамиды, используя треугольник, образованный боковым ребром, высотой и половиной стороны основания:
[\text{Боковое ребро}^2 = \text{Высота}^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2]
[6^2 = \text{Высота}^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{4}\right)^2]
[36 = \text{Высота}^2 + \frac{50}{4}]
[36 = \text{Высота}^2 + \frac{25}{2}]
[\text{Высота}^2 = 36 - \frac{25}{2} = \frac{72 - 25}{2} = \frac{47}{2}]
[\text{Высота} = \sqrt{\frac{47}{2}} = \frac{\sqrt{94}}{2}]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
[ \text{Площадь боковой поверхности} = \frac{1}{2} \times \text{Периметр основания} \times \text{Боковая высота}]
[ \text{Площадь боковой поверхности} = \frac{1}{2} \times 4a \times \text{Высота} = 2a \times \text{Высота} = 2 \times \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{94}}{2} = \frac{5\sqrt{2} \times \sqrt{94}}{2} = \frac{5\sqrt{188}}{2} = \frac{5\sqrt{47}}{2}\, \text{см}^2]

Наконец, найдем объем прямоугольной пирамиды:
[ \text{Объем} = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота} = \frac{1}{3} \times a^2 \times \text{Высота} = \frac{1}{3} \times \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 \times \frac{\sqrt{94}}{2} = \frac{1}{3} \times \frac{50}{4} \times \frac{\sqrt{94}}{2} = \frac{50\sqrt{94}}{24}\, \text{см}^3]

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна (\frac{5\sqrt{47}}{2}\, \text{см}^2), а объем пирамиды составляет (\frac{50\sqrt{94}}{24}\, \text{см}^3).