В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 3 корня из 3, SC = 5. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой МК, где К- середина ребра АС, а точка М делит ребро ВS так что ВМ:MS=3:1 В этой же правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС найдите угол, образованный плоскостью боковой грани SAC и плоскостью МAC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Найдем ребро SA. Поскольку SABC - правильная треугольная пирамида, то треугольник SAB также равносторонний. Значит, AB = 3√3 = SA.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику SAM, где AM - гипотенуза, MS - катет, а угол между ними равен искомому углу.

AM² = SA² + SM² = (3√3)² + (3/4)² = 27 + 9/16 = 27.5625
AM = √27.5625 = 5.25

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику SAM:
cos(угол М) = (SA² + SM² - AM²) / (2 SA SM)
cos(угол М) = ((3√3)² + (3/4)² - 5.25²) / (2 3√3 3/4)
cos(угол М) = (27 + 9/16 - 27.5625) / (9√3/2)
cos(угол М) = (352/16 - 442.5625) / (9√3/2)
cos(угол М) = (- 90.5625) / (9√3/2)
cos(угол М) = -5.0306 / √3
угол М = arccos(-5.0306 / √3) ≈ 113.9°

Ответ: угол между плоскостью основания и прямой МК равен приблизительно 113.9°.

Рассмотрим треугольники MAC и ASM. Они равновелики, так как оба являются прямоугольными, а катеты равны (MA = 5.25, SC = 5).

Теперь рассмотрим угол между плоскостью боковой грани SAC и плоскостью MAC. Поскольку треугольник SAC является равносторонним и треугольник МАС равновелик с треугольником МАS, то угол между этими плоскостями равен углу М.

Таким образом, угол между плоскостью боковой грани SAC и плоскостью MAC равен 113.9°.

Ответ: искомый угол равен 113.9°.