Расстояние между точками касания со вписанной и соответствующей вневписанной окружностью треугольника ABC на стороне BC равно 2, а на стороне AC равно 3. Чему может быть равна длина стороны AC, если BC=10?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны AC через x.

По условию задачи, расстояние между точками касания со вписанной и соответствующей вневписанной окружностью треугольника ABC на стороне AC равно 3. Это расстояние равно сумме радиусов вписанной и вневписанной окружностей, поскольку они обе касаются стороны AC. Поэтому, радиус вписанной окружности равен 3-р, а радиус вневписанной окружности равен 3+r, где r - радиус вписанной окружности.

По теореме о вписанном угле треугольника, сумма радиусов вписанной и вневписанной окружностей равна полупериметру треугольника, то есть (3-r) + (3+r) = (BC + AC - AB)/2, откуда 3=10+x-AB/2. Отсюда AB=10+x-6=4+x.

Также, по условию задачи, расстояние между точками касания со вписанной и вневписанной окружностью на стороне BC равно 2, что также равно сумме радиусов вписанной и вневписанной окружностей на стороне BC. Аналогично предыдущему пункту, получим, что радиусы равны 2-r и 2+r, и по теореме о вписанном угле получим, что AB=BC+AC-10/2=10+x-10/2=5+x.

Из предыдущих выкладок AB=4+x и AB=5+x следует, что 4+x=5+x, откуда x=1.

Таким образом, длина стороны AC равна 1, если BC=10.